Formalización Matemática de los Algoritmos de Abu Oracle

Este documento explicita la trigonometría esférica subyacente al cálculo de la carta natal y la domificación (Sistema de Placidus), alejando el modelo de la representación simbólica para fundamentarlo en la cinemática celeste.

El Triángulo de Posición

Para anclar la bóveda celeste al horizonte local del observador, el motor resuelve el Triángulo de Posición ($ZP_nE$). Los vértices son:

• Polo Elevado ($P_n$)
• Cenit del observador ($Z$)
• Astro o grado de la eclíptica ($E$)

Lados y Ángulos Fundamentales

• Lado $ZP_n$: $90^\circ - \varphi$ (donde $\varphi$ es la latitud del observador)
• Lado $ZE$: $\zeta$ (Distancia Cenital)
• Lado $EP_n$: $90^\circ - \delta$ (donde $\delta$ es la declinación del astro)
• Ángulo $P_n$: $H$ (Ángulo Horario)
• Ángulo $Z$: $180^\circ - A$ (donde $A$ es el Acimut)

A partir de las fórmulas de Gauss aplicadas a este triángulo, se obtiene la Distancia Cenital ($\zeta$), vital para saber la altura del astro sobre el horizonte:

Y para localizar la posición cardinal exacta (Acimut $A$), fundamental para el Ascendente:

La Oblicuidad de la Eclíptica

El avance longitudinal del Sol (y los planetas) sobre la eclíptica ($l$) se proyecta sobre el ecuador celeste (Ascensión Recta, $\alpha$) sufriendo una deformación geométrica debido a la inclinación del eje terrestre ($\epsilon \approx 23.5^\circ$).

El motor calcula esta proyección utilizando la siguiente ecuación geodésica:

Nota: Esta fórmula es la responsable de las "ascensiones cortas y largas". Explica por qué los signos cercanos a los equinoccios (Aries/Libra) ascienden en tiempos radicalmente distintos a los cercanos a los solsticios (Cáncer/Capricornio), distorsionando el tamaño de las casas en un plano bidimensional.

Sistema Placidus

El sistema de Placidus, utilizado por abu_engine, no divide el espacio físico, sino el tiempo que le toma a un grado zodiacal viajar desde el horizonte hasta el meridiano.

A. La Ecuación del Semi-Arco Diurno (El Límite del Horizonte)

Para calcular las casas, primero debemos saber en qué momento un grado del zodíaco "toca" el horizonte. Mascheroni establece que la altura $h$ de un astro es $90^\circ - \zeta$. Por lo tanto, en el horizonte la altura es nula ($h = 0$).

Sustituyendo $0$ en la fórmula general de altura ($\sin h = \sin \varphi \sin \delta + \cos \varphi \cos \delta \cos H$), se deduce la ecuación fundamental del movimiento diurno:

Despejando el Ángulo Horario ($H$), obtenemos el Semi-Arco Diurno (SAD):

• Implicancia algorítmica: el valor $H$ resultante representa, en grados ecuatoriales (donde $1^\circ = 4$ minutos de tiempo), el arco exacto desde la salida del astro (Ascendente) hasta su culminación superior (Medio Cielo).

B. La Trisección (Cálculo de Cúspides Intermedias)

El bucle central del algoritmo de Placidus itera utilizando el Semi-Arco Diurno para encontrar los grados de la eclíptica que dividen el tiempo de ascensión en tres partes iguales (Horas Temporales).

1. Cúspide de Casa 10 (Medio Cielo): calculada directamente a través de la Ascensión Recta del meridiano (Ángulo Horario local $H = 0^\circ$).
2. Cúspide de Casa 1 (Ascendente): el grado de la eclíptica cuyo Acimut $A$ corta exactamente el horizonte este.
3. Cúspides Intermedias (Casas 11 y 12): el algoritmo itera sobre la eclíptica probando diferentes grados (con declinación $\delta$ variable). Para cada grado candidato:
   • Calcula su Semi-Arco Diurno: $H_{candidato} = \arccos(-\tan \varphi \cdot \tan \delta_{candidato})$
   • Divide $H_{candidato}$ entre $3$. Esto define una Hora Temporal ($HT$).
   • La Casa 12 es aquel grado específico del zodíaco cuya distancia en Ascensión Recta al meridiano local superior es exactamente $\tfrac{1}{3} H_{candidato}$ (o $1\ HT$).
   • La Casa 11 es aquel grado cuya distancia al meridiano es exactamente $\tfrac{2}{3} H_{candidato}$ (o $2\ HT$).

Notación Big-O

Debido a que $\delta$ es una función no lineal de la longitud eclíptica $l$, las cúspides intermedias no pueden despejarse con una ecuación cerrada simple, requiriendo en el backend algoritmos de búsqueda de raíces (métodos numéricos iterativos como Newton-Raphson). Esto convierte el cálculo de domificación de Placidus en la operación de mayor costo algorítmico dentro del motor base $O(K)$, comparado con el $O(1)$ constante de los sistemas de casas de división espacial simple.